Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．如圖（1），已知四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點M是BC邊的中點，過點M作ME∥AC交BD于點E，作MF∥BD交AC于點F．我們稱四邊形0EMF為四邊形ABCD的“伴隨四邊形”．

（1）若四邊形ABCD是菱形，則其“伴隨四邊形”是　 　，若四邊形ABCD矩形，則其“伴隨四邊形”是：　 　（在橫線上填特殊平行四邊形的名稱）

（2）如圖（2），若四邊形ABCD是矩形，M是BC延長線上的一個動點，其他條件不變，點F落在AC的延長線上，請寫出線段OB、ME，MF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）矩形；菱形

（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據矩形、菱形的性質定理和判定定理進行證明即可；

（2）根據平行四邊形的性質得到OE=MF，得到OB+MF=BE，根據平行線的性質和等腰三角形的性質得到EB=EM，證明結論．

（1）如圖1，∵ME∥AC，MF∥BD，

∴四邊形OEMF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴四邊形OEMF是矩形；

如圖2，∵ME∥AC，MF∥BD，

∴四邊形OEMF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB＝OC，

∵M是BC邊的中點，

∴ME＝OC，MF＝OB，

∴ME＝MF，

∴四邊形OEMF是菱形；

故答案為：矩形；菱形．

（2）∵ME∥AC，MF∥BD，

∴四邊形OEMF是平行四邊形，

∴OE＝MF，

∴OB+MF＝OB+OE＝BE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵ME∥AC，

∴∠EMB＝∠OCB，

∴∠EBM＝∠EMB，

∴EB＝EM，

∴EM＝OB+MF．