Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與軸交于點A和點B，與y軸交于點C，作直線BC，點B的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式并寫出其對稱軸；

（2）D為拋物線對稱軸上一點，當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求D點坐標；

（3）若E為y軸上且位于點C下方的一點，P為直線BC上的一點，在第四象限的拋物線上是否存在一點Q．使以C，E，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出Q點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數的對稱軸x＝2；（2）D（2，﹣8）或（2，4）；（3）存在，Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．

【解析】

（1）將點B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）分∠BCD=90°、∠DBC=90°兩種情況，分別求解即可；

（3）分CE為菱形的一條邊、CE為菱形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將點B、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣6，

令y＝0，則x＝﹣2或6，則點A（﹣2，0），

則函數的對稱軸x＝2；

（2）①當∠BCD＝90°時，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式得：

直線BC的表達式為：y＝x﹣6，

則直線CD的表達式為：y＝﹣x﹣6，

當x＝2時，y＝﹣8，故點D（2，﹣8）；

②當∠DBC＝90°時，

同理可得點D（2，4），

故點D（2，﹣8）或（2，4）；

（3）①當CE為菱形的一條邊時，

則PQ∥CE，設點P（m，m﹣6），則點Q（m，n），

則n＝m2﹣2m﹣6…①，

由題意得：CP＝PQ，

即m＝m﹣6﹣n…②，

聯立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，

則點Q（6﹣2，4﹣8）；

②當CE為菱形的對角線時，

則PQ⊥CE，即PQ∥x軸，

設點P（m，m﹣6），則點Q（s，m﹣6），

其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，

則PC＝﹣m，

CQ2＝s2+m2，

由題意得：CQ＝CP，

即：（﹣m）2＝s2+m2…④，

聯立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），

故點（2，﹣8）；

綜上，點Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．