Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為（r＞0），若點P′在射線OP上（P′可以和射線端點重合），滿足OP′+OP＝2r，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”．

（1）當⊙O的半徑為8時，

①若OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，則P1，P2，P3中存在關于⊙O的反演點”的是　 　．

②點O關于⊙O的“反演點”的集合是　 　，若P關于⊙O的“反演點在⊙O內，則OP取值范圍是　 　；

（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，⊙O的圓心在射線CB上運動，半徑為1．若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙O的“反演點”P′在⊙O的內部，求OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P2，P3；②以O為圓心，半徑為16的圓，8＜OP≤16；（2）當12﹣2≤OC≤14時，線段AB上存在點P，使得點P關于⊙O的“反演點”P′在⊙O的內部．

【解析】

（1）①、②運用“反演點”的定義進行解答即可；

（2）需分兩種情形討論①當點O在線段CB上時，以O為圓心，半徑為2的圓與AB相切于H，確定OC的范圍即可；②當點O在點B右側時，確定OC的范圍即可；

解：（1）①根據⊙O的“反演點”的定義可知：當0≤OP≤2r時，點P存在關于⊙O的“反演點”，

∵OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，

∴P2，P3存在關于⊙O的“反演點”，

故答案為P2，P3．

②點O關于⊙O的“反演點”的集合是以O為圓心，半徑為16的圓，若P關于⊙O的“反演點在⊙O內，則OP取值范圍是

故答案為：以O為圓心，半徑為16的圓；8＜OP≤16；

（2）①當點O在線段CB 上時，以O為圓心，半徑為2的圓與AB相切于H，如圖，

這時OC＝CB﹣OB＝12﹣2，此時線段AB上存在點P（即為點H），使得點P關于⊙O的“反演點”P′在⊙O的內部，即為圓心O，當圖中點O向點B靠近時，線段AB上必存在著點P，使得OP≤2，又OP+O P′＝2，

∴O P′＜1，即點P關于⊙O的“反演點”P′在⊙O的內部．

∴12﹣2≤OC≤12

②當點O在點B右側時，

∵OP≥OB，又1＜OP≤2，

∴0＜OB≤2，

∴12＜OC≤14，

綜上所述，當12﹣2≤OC≤14時，線段AB上存在點P，使得點P關于⊙O的“反演點”P′在⊙O的內部．