Question

【題目】定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形（保留畫圖痕跡）；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，對角線BD平分∠ABC．求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

（3）如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∠EFH＝∠HFG＝30°，連接EG，若△EFG的面積為2，求FH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD是四邊形ABCD的“相似對角線”，見解析；（3）2

【解析】

（1）先求出AB，BC，AC，再分情況求出CD或AD，即可畫出圖形；

（2）先判斷出∠A+∠ADB＝145°＝∠ADC，即可得出結論；

（3）先判斷出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FEFG，再判斷出EQ＝FE，繼而求出FE＝8，即可得出答案．

（1）解：如圖1所示：

、

由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，

∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，

①當∠ACD＝90°時，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴＝＝，或＝＝2，

∴CD＝10，或CD＝2.5

②當∠CAD＝90°時，

同理：AD＝2.5或AD＝10；

（2）證明：∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝35°，

∴∠A+∠ADB＝145°

∵∠ADC＝145°，

∴∠BDC+∠ADB＝145°，

∴∠A＝∠BDC，

∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

（3）解：∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，

∴△EFH與△HFG相似，

∵∠EFH＝∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴＝，

∴FH2＝FEFG，

過點E作EQ⊥FG于Q，如圖3所示：

∴EQ＝FEsin60°＝FE，

∵FG×EQ＝2，

∴FG×FE＝2，

∴FGFE＝8，

∴FH2＝FEFG＝8，

∴FH＝2．