Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點，且DA＝DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線．

（1）如圖①，連接OC，證明∠OCE＝∠OAC；

（2）如圖②，點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點N．

①猜想并證明線段OM和線段ON之間的數量關系；

②若∠BAC＝30°，BC＝m，當∠AON＝15°時，請直接寫出線段ME的長度（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①OM＝ON，證明見解析；②滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m

【解析】

（1）根據是Rt△ABC斜邊是的中線，可證得∠OCA＝∠A，根據是Rt△DBC斜邊是的中線， 是△DBA的中位線，可證得∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，從而得到結論；

（2）①連接，和△DBA有一個底角相等的等腰三角形，得到∠COA＝∠ADB，繼而得到∠COM＝∠AON，可證得△COM≌△AON（ASA），繼而證得結論；

②分類討論：當點N在CA的延長線上時，利用外角定理得∠AON＝∠ANO＝15°，OA＝AN＝m，根據△OCM≌△OAN，得到CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，求得，繼而求得答案；當點N在線段AC上時，作OH⊥AC于H，求得OH＝HN＝m， AH＝m，繼而求得答案.

（1）證明：如圖①中，連接OE．

∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，

∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，

∴∠OCA＝∠A，

∵BE＝ED，BO＝OA，

∴OE∥AD，OE＝AD，

∴CE＝EO．

∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，

∴∠ECO＝∠OAC．

故答案為：∠OCE＝∠OAC．

（2）①如圖，連接，

∵OC＝OA，DA＝DB，

∴∠＝∠OCA＝∠ABD，

∴∠COA＝∠ADB，

∵∠MON＝∠ADB，

∴∠AOC＝∠MON，

∴∠COM＝∠AON，

∵∠ECO＝∠OAC，

∴∠MCO＝∠NAO，

∵OC＝OA，

∴△COM≌△AON（ASA），

∴OM＝ON．

②如圖，當點N在CA的延長線上時，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，

∴∠AON＝∠ANO＝15°，

∴OA＝AN＝m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM＝AN＝m，

在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，

∴BD＝m，

∵BE＝ED，

∴CE＝BD＝m，

∴EM＝CM+CE＝m+m．

如圖中，當點N在線段AC上時，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，

∴∠ONH＝15°+30°＝45°，

∴OH＝HN＝m，

∵AH＝m，

∴CM＝AN＝m﹣m，

∵EC＝m，

∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，

綜上所述，滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m．