Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點G，H分別是BC、CD邊上的點，直線GH與AB、AD的延長線相交于點E，F，連接AG、AH．
（1）當BG=2，DH=3時，則GH：HF= ， ∠AGH=°；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的長；
（3）設BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y與x之間的函數關系式，并求出y的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）1：3；90
（2）解：∵正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，

∴CG=1，CH=3，

∵CG∥DF，CH∥BE，

∴△CGH∽△BGE∽△DFH，

∴ = = ，即 = = ，

解得BE=9，DF= ，

∴Rt△BEG中，EG= = =3

（3）解：∵正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，

∴CG=4﹣x，CH=4﹣y，

由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，

∴△ABG∽△GCH，

∴ = ，即 = ，

∴y與x之間的函數關系式為：y= x2﹣x+4，

∵ = ，

∴4﹣y= =﹣ +x，

∴當x=﹣ =2時，4﹣y有最大值，且最大值為﹣ ×4+2=1，

∴0＜4﹣y≤1，

解得3≤y＜4．

【解析】解：（1）解：∵正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3， ∴CG=2，CH=1，
∵DF∥CG，
∴△FDH∽△GCH，
∴ = = ，
∵Rt△GCH中，GH2=CG2+CH2=5，
Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=20，
Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2=25，
∴GH2+AG2=AH2 ，
∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．
所以答案是：1：3，90

（1）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根據DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根據相似三角形的性質可得GH：HF的值，最后根據勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；（2）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根據CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根據相似三角形的性質以及勾股定理，求得DF、EG的長；（3）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，得出CG=4﹣x，CH=4﹣y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，進而得出△ABG∽△GCH，根據相似三角形的對應邊成比例，可得y與x之間的函數關系式為：y= x2﹣x+4，最后運用二次函數的性質求得3≤y＜4即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．