Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是 ．

Answer 1

【答案】4.5
【解析】解：如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1 ， 此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1 ，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB2=AC2+BC2 ，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1= AC=2，
∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1=0.5，
如圖，當Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2經過圓心，經過圓心的弦最長，
P2Q2最大值=2.5+1.5=4，
∴PQ長的最大值與最小值的和是4.5．
所以答案是：4.5．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．