Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C（0，2），過點C作圓的切線交x軸于點D．

（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）設平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令二次函數y=ax2+bx+c，

則 ，

∴ ，

∴過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：以AB為直徑的圓的圓心坐標為O′（﹣ ，0），

∴O′C= ，

OO′= ；

∵CD為⊙O′切線

∴O′C⊥CD，

∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，

∴∠CO'O=∠DCO，

∴△O'CO∽△CDO，

∴ = ，即 = ，

∴OD= ，

∴D坐標為（ ，0）

（3）

解：存在，

拋物線對稱軸為x=﹣ ，

設滿足條件的圓的半徑為r，則E的坐標為（﹣ +r，|r|）或F（﹣ ﹣r，r），

而E點在拋物線y=﹣ x2﹣ x+2上，

∴r=﹣ （﹣ +r）2﹣ （﹣ +r）+2；

∴r1=﹣1+ ，r2=﹣1﹣ （舍去）；

故以EF為直徑的圓，恰好與x軸相切，該圓的半徑為

【解析】（1）已知了拋物線過A，B，C三點，可根據三點的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．（2）由于CD是圓的切線，設圓心為O′，可連接O′C，在直角三角形O′CD中科根據射影定理求出OD的長，即可得出D的坐標．（3）可假設存在這樣的點E、F，設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F兩點的坐標，然后根據E，F在拋物線上，將E，F的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F兩點的坐標．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．