Question

【題目】問題提出：如圖（1），在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求S正方形MNPQ ． 問題探究：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖（2））．
（1）若將上述四個等腰三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則新正方形的邊長為；這個新正方形與原正方形ABCD的面積有何關系；（填“＞”，“=”“或＜”）；通過上述的分析，可以發現S正方形MNPQ與S△FSB之間的關系是：
（2）問題解決：求S正方形MNPQ ．
（3）拓展應用：如圖（3），在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF=1，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△PQR，求S△PQR ． （請仿照上述探究的方法，在圖3的基礎上，先畫出圖形，再解決問題）．

Answer 1

【答案】
（1）a；=；S正方形MNPQ=4S△FSB
（2）解：∵S△FSB= ×1×1= ，

∴S正方形MNPQ=4S△FSB=4× =2

（3）解：如圖所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三個全等的三角形，可以拼成一個和△ABC一樣的等邊三角形（無縫隙，不重疊），

∴S△PRQ=S△ADG+S△BHE+S△CFI=3S△ADG，

如圖，過點G作GJ⊥BA于J，

根據∠ADG=∠BDP=30°，∠DAF=60°=∠GAJ可得，∠ADG=∠AGD=30°，

∴AD=AG=1，

∴GJ= AG= ，

∴S△ADG= AD×GJ= ×1× = ，

∴S△PQR=3S△ADG=3× = ．

【解析】解：（1）問題探究： ∵AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四個全等的等腰直角三角形，
∴AE=DW，
∴AE+DE=DW+DE=a，即AD=WE=a，
∵拼成一個新的正方形無縫隙，不重疊，
∴這個新正方形的邊長為a；
∵所得的四個等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為 a，
每個等腰直角三角形的面積為： a a= a2 ，
∴拼成的新正方形面積為：4× a2=a2 ，
即新正方形與原正方形ABCD的面積相等；
∵新正方形的面積=4×S△MSG=4×（S△FSB+S四邊形MFBG），
原正方形ABCD的面積=S正方形MNPQ+4×S四邊形MFBG ，
∴4×（S△FSB+S四邊形MFBG）=S正方形MNPQ+4×S四邊形MFBG ，
即S正方形MNPQ=4S△FSB；
所以答案是：a，=，S正方形MNPQ=4S△FSB；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．