Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點，E是BC延長
線上一點，連接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點G，連接PG．
（1）求證：∠GCF=∠FCE；
（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）若BP=2，在直線AB上是否存在一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長度，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）PG=PB＋DG，證明見解析；（3）存在.3；理由見解析.

試題分析：：（1）過點F作FH⊥BE于點H，利用正方形的性質，證得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH進一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出結論；
（2）延長PB至K，使BK=DG，連接AK，證得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出邊相等得出結論；  
（3）首先判定存在，在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，證得△ABP≌△DAM，進一步球的結論即可．
（1）證明：過點F作FH⊥BE于點H，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC，
∴∠BAP＋∠APB=90º
∵AP⊥PF,
∴∠APB＋∠FPH=90º
∴∠FPH=∠BAP
又∵AP=PF
∴△BAP≌△HPF
∴PH=AB，BP=FH 
∴PH="BC"
∴BP＋PC=PC＋CH
∴CH="BP=FH"
而∠FHC=90º. ∴∠FCH=CFH=45º
∴∠DCF=90º－45º=45º
∴∠GCF=∠FCE
（2）PG=PB＋DG
證明：延長PB至K，使BK=DG,
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB="AD," ∠ABK=ADG=90º
∴△ABK≌△ADG
∴AK="AG," ∠KAB=∠GAD,
而∠APF="90" º,AP=PF
∴∠PAF=∠PFA="45" º
∴∠BAP＋∠KAB=∠KAP="45" º=∠PAF
∴△KAP≌△GAP
∴KP=PG,
∴KB＋BP=DG＋BP=PG
即，PG=PB＋DG
（3）存在.
如圖，在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，
則MD∥PF，且MD=FP，
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四邊形ABCD是正方形 ，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM
∴△ABP≌△DAM 
∴AM=BP=2，
∴BM=AB－AM=5－2="3."
∴當BM=3，BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形．