Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．
（1）試用含t的式子表示AE、AD的長；
（2）如圖①，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；
（3）如圖②，連接DE，當t為何值時，△DEF為直角三角形？
（4）如圖③，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當t為何值時，四邊形AEA′D為菱形？

Answer 1

（1）AE=t，AD=12-2t；（2）理由見解析；（3）3或；（4）4.

試題分析：（1）根據題意直接表示出來即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形.
（3）①顯然∠DFE＜90°；②當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，此時 AE=AD，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值；③當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°-∠A=30°，此時AD=AE，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值.
（4）如圖③，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，則t=12-2t，所以t=4．即當t=4時，四邊形AEA′D為菱形．
（1）AE=t，AD=12-2t.
（2）∵DF⊥BC，∠C=30°，∴DF=CD=×2t=t.
∵AE=t，∴DF=AE.
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，∴DF∥AE.
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
（3）①顯然∠DFE＜90°.
②如圖（1），當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，
此時 AE=AD，∴t＝ (12?2t).∴t=3.
③如圖（2），當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠A=30°.∴AD=AE.∴12?2t＝t.∴t＝.
綜上：當t=3秒或t＝秒時，△DEF為直角三角形.

（4）如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD.
∴t=12-2t.∴t=4.
∴當t=4時，四邊形AEA′D為菱形.