Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，過點C作CD⊥AB于點D，過點B作BM⊥AC于點M，BM交CD于點E，且點E為CD的中點，連接MD，過點D作ND⊥MD于點D，DN交BM于點N．
（1）若BC=，求△BDE的周長；
（2）求證：NE－ME=CM．

Answer 1

（1）；（2）完成證明見解析

試題分析：（1）充分利用直角三角形的性質和勾股定理即可得解，在Rt△BDE中，要求周長，求出是BD長是關鍵，而BD長放在Rt△BCD中即可得解.
（2）想證明NE－ME=CM這樣的關系，關鍵將其放入全等三角形中，用等量代換的關系即可得證，充分利用點E為CD的中點的條件作出輔助線，過D作D作DF⊥BM于點F，或過點D作DF∥CM交BM于點F，或在MB上截取EF，使EF=EM（如第24題解答圖1），另外也可過點C作CP∥DN交BM延長線于點P，或過點C作CP∥DN交BM延長線于點P，或延長EM至點P，使EP=EN（如第24題解答圖2），利用兩次全等三角形，即可得證。
試題解析：
（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB
∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB="45°"
∵BC=   ∴BD="CD=2"
∵點E為CD中點
∴DE=CE=CD="1"
∴ 
∴ 
∴△BDE的周長為

（2）（方法一）過點D作DF⊥BM于點F
∵BM⊥AC
∴∠DFE=∠CME=90°
在△DEF和△CEM中

∴△DEF≌△CEM（AAS）
∴DF=CM    FE=ME               
∵ND⊥MD，CD⊥AB
∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°
∴∠BDN=∠CDM
∵CD⊥AB，BM⊥AC
∴∠BDE=∠CDA="90°"
∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90° 
∵∠DEB=∠CEM    ∴∠DBE=∠ACD
在△BDN和△CDM中

∴△BDN≌△CDM（ASA）
∴DN=DM  
∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°
∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠NDF=45°
∴DF="NF"
又∵DF=CM，FE=ME
∴NE=NF+FE=CM+ME
∴NE－ME="CM."
（2）問其他方法：（解法略）
方法二：過點D作DF∥CM交BM于點F
方法三：在MB上截取EF，使EF=EM
方法四：過點C作CP∥DN交BM延長線于點P
方法五：延長EM至點P，使EP=EN