Question

【題目】邊長(zhǎng)為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)D是邊OA的中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)C，E兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？
（3）點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)M，N，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G點(diǎn)．

∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，D是OA的中點(diǎn)，

∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠GDE=90°．

∵∠ODC+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠GDE．

在△OCD和△GED中，

∴△ODC≌△GED （AAS），

∴EG=OD=1，DG=OC=2．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1）．

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線AB即直線x=2，

∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+k，

將C、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得

．

解得，

拋物線的解析式為y=（x﹣2）2+；

（2）

解：①若△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，

∴PD∥OC，

∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，

∴四邊形PDOC是矩形，

∴PC=OD=1，

∴t=1；

②若△PFD∽△COD，則∠DPF=∠DCO，=．

∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．

∴PC=PD，

∴DF=CD．

∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，

∴CD=，

∴DF=．

∵=，

∴PC=PD=×=，

t=，

綜上所述：t=1或t=時(shí)，以點(diǎn)P，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似；

（3）

解：存在，

四邊形MDEN是平行四邊形時(shí)，M1（2，1），N1（4，2）；

四邊形MNDE是平行四邊形時(shí)，M2（2，3），N2（0，2）；

四邊形NDME是平行四邊形時(shí)，M3（2，），N3（2，）．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OCD=∠GDE，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類討論：若△DFP∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠PDF=∠DCO，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得PC的長(zhǎng)；若△PFD∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠DPF=∠DCO，=，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得DF于CD的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的相似比，可得PC的長(zhǎng)；
（3）分類討論：MDNE，MNDE，NDME，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案．．