Question

【題目】已知拋物線E1：y=x2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m），以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2），點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．

（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;
（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連接OP并延長(zhǎng)與拋物線E2相交于點(diǎn)P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線E1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m），

∴m=12=1．

∵拋物線E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2（a≠0），

又∵點(diǎn)B（2，2）在拋物線E2上，

∴2=a×22，

解得：a=，

∴拋物線E2所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2．

（2）

解：如圖1，假設(shè)在第一象限內(nèi)，拋物線E1上存在點(diǎn)Q，使得△QBB′為直角三角形，

由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn)B或點(diǎn)Q．

①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作QB⊥BB′交拋物線E1于Q，

則點(diǎn)Q與B的橫坐標(biāo)相等且為2，將x=2代入y=x2得y=4，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，4）．

②當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有QB′2+QB2=B′B2，過(guò)點(diǎn)Q作GQ⊥BB′于G，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，t2）（t＞0），

則有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4，

整理得：t4﹣3t2=0，

∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=（舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3），

綜合①②，存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，4）與（，3）

（3）

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，PC交直線AA′于點(diǎn)E，

過(guò)點(diǎn)P′作P′D⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，P′D交直線BB′于點(diǎn)F，

依題意可設(shè)P（c，c2）、P′（d，d2） （c＞0，c≠q），

∵tan∠POC=tan∠P′OD，

∴，

∴d=2c．

∵AA′=2，BB′=4，

∴

【解析】（1）直接將（2，2）代入函數(shù)解析式進(jìn)而求出a的值；
（2）由題意可得，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上存在點(diǎn)Q，使得△QBB′為直角三角形，由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn)B或點(diǎn)Q，分別利用當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先設(shè)P（c，c2）、P′（d，d2），進(jìn)而得出c與d的關(guān)系，再表示出△PAA′與△P′BB′的面積進(jìn)而得出答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和二次函數(shù)圖象的平移，需要了解二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開(kāi)口方向：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上; a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減才能得出正確答案．