Question

【題目】（1）計算：0×1×2×3+1＝（_______）2；

1×2×3×4+1＝（______）2；

2×3×4×5+1＝（_______）2；

3×4×5×6+1＝（_______）2；

……

（2）根據以上規律填空：4×5×6×7+1＝（_____）2；

____×___×_____×_____+1＝（55）2．

（3）小明說：“任意四個連續自然數的積與1的和都是某個奇數的平方”．你認為他的說法正確嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；5；11；19；（2）29；6；7；8；9；（3）正確，證明見解析．

【解析】

直接計算寫出結果即可；

觀察(1)的結果，得到規律，按照規律填寫即可得到答案；

設四個自然數分別為n，n+1，n+2，n+3，按照題目意思作乘積，展開計算即可驗證小明的說法；

解：（1）直接計算得到：0×1×2×3+1＝1=12；

1×2×3×4+1＝25=52；

2×3×4×5+1＝121=112；

3×4×5×6+1＝361=192；

故答案為：1；5；11；19；

（2）根據上述計算的幾個式子，可以得到規律：

n（n+1）（n+2）（n+3）+1=,

∴4×5×6×7+1=，

∵，

∴ 6 × 7 × 8 × 9 +1＝（55）2

故答案為：29，, 6 × 7 × 8 × 9

（3）正確， 理由如下：

證明：設四個自然數分別為n，n+1，n+2，n+3，

則有n（n+1）（n+2）（n+3）+1

＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1

＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1

＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

＝（n2+3n+1）2．

＝[n（n+1）+2n+1]2

因為n為自然數，所以n（n+1）為偶數，2n+1為奇數，所以n（n+1）+2n+1必為奇數，故（n2+3n+1）2是一個奇數的平方．