Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE=DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB=10，EB=6．
（1）求證：AC是⊙D的切線；
（2）求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半徑），即可得出AC是⊙D的切線．
（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據全等三角形對應邊相等及切線的性質的AB=AF，得出AB+EB=AC即可．

解答 （1）證明：過點D作DF⊥AC于F；如圖所示：
∵AB為⊙D的切線，
∴∠B=90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD=DF
∴AC是⊙D的切線；
（2）解：在Rt△BDE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{DB=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=10+6=16．

點評 本題考查的是切線的判定、角平分線的性質定理、全等三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等得出EB=FC是解決問題（2）的關鍵．