Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經過點C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點P是直線上方的拋物線上的一個動點，求△ABP的面積最大時的P點坐標．

（3）若點P是拋物線上的一個動點（不與點A點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．當PE=2ED時，求P點坐標；

（4）設拋物線與y軸交于點F，在拋物線的第一象限內，是否存在一點M，使得AM被FC平分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）△ABP的面積最大時，P點坐標為；（3）當PE=2ED時，P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；（4）在拋物線上存在一點M，當其坐標為（1,8）或時，AM被FC平分．

【解析】

（1）先根據直線解析式求出B點坐標，再根據A點和C點在軸上寫出交點式，最后利用待定系數法求解并化為一般式即得；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，先設P點坐標，進而根據P點坐標表示的“鉛垂高”PH和點A及點B的水平距離，再根據“三角形面積=鉛垂高點A及點B的水平距離”列出二次函數關系，最后即可根據二次函數的性質求出面積最大時點P的坐標；

（3）先設P點坐標，根據PD⊥x軸表示E點和D點的坐標，再根據PE=2ED列出方程求解即得；

（4）先根據F點與C點坐標求出直線FC的解析式，再設M點的坐標并表示出AM的中點，最后將中點坐標代入直線FC的解析式解方程即可．

（1）將交點B（4，m）代入直線y=x+1得B（4，5），

由題意可設拋物線解析式y=a（x+1）（x﹣5），

把B（4，5）代入得，∴，即；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點H，如下圖：

設P點坐標為（，）則H點的坐標為（，）

∴

∵A（﹣1，0），B（4，5）

∴=4﹣（﹣1）=5

∴

∴當時△ABP的面積最大

∴P點坐標為

∴△ABP的面積最大時P點坐標為；

（3）設P點坐標為（，）則E點的坐標為（，）

∵P為拋物線上一點

∴存在P點在直線AB上方和下方兩種情況．

∴由題意得，，

∵PE=2ED

∴，所以

解得：x1=﹣1（舍），x2=2，x3=6，

當x=2時，y=9；當x=6時，y=﹣7．

即當PE=2ED時，求P點坐標為（2，9）或（6，-7）；

（4）存在一點M，使得AM被FC平分，理由如下：

若AM被FC平分，則AM的中點在直線FC上．

∵F（0，4），C（5，0）

∴直線FC的表達式為：yx+4

設M（x，﹣x2+4x+5），A（﹣1，0）

∴AM中點坐標為，

將坐標代入解得：，

把代入拋物線解析式得

把代入拋物線解析式得

∴當點的坐標為（1,8）或時，AM被FC平分．