Question

【題目】已知，△ABC中，AB＝AC，點F在邊BC上

（1）如圖1，AF＝BF，求證：AB2＝BFBC；

（2）如圖2，FC＝2BF，點E、M在直線AB上，EF∥AC，cosB＝n，且FM2＝MEMB

①若M在邊AB上，求的值（用含n的式子表示）；

②若M在BA的延長線上時，直接寫出n的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①8n2﹣3；②＜n＜

【解析】

（1）只要證明△BAF∽△BCA即可解決問題．

（2）①如圖2中，作AD⊥BC于D，延長FM交CA的延長線于G．設DF＝m．想辦法求出AC，EF，CG（用m，n表示）即可解決問題．

②如圖3中，求出當點M與A重合時n的，由題意∠B＜60°，故n＞，由此即可判斷．

（1）證明：如圖1中，

∵AB＝AC，FB＝FA，

∴∠B＝∠C＝∠BAF，

∵∠B＝∠B，∠BAF＝∠C，

∴△BAF∽△BCA，

∴＝，

∴AB2＝BFBC．

（2）①解：如圖2中，作AD⊥BC于D，延長FM交CA的延長線于G．設DF＝m．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC，

∵FC＝2BF，DF＝m，

∴BF＝2m，FC＝4m，BD＝3m，

∵cosB＝n＝，

∴AB＝AC＝，

∵EF∥AC，

∴＝＝，

∴EF＝，

∵FM2＝MEMB，

∴＝，

∵∠FME＝∠FMB，

∴△FME∽△BMF，

∴∠MFE＝∠B，

∵EF∥CG，

∴∠G＝∠MFE＝∠B＝∠C，

∴FC＝FG＝4m，

∵△EFB∽△FCG，

∴＝，

∴＝，

∴CG＝8mn，

∵EF∥AG，

∴＝＝＝8n2﹣3．

②解：如圖3中，當點M與A重合時，

由①可知：8mn＝，解得n＝（負根已經舍棄），

由題意∠B＜60°，故n＞

觀察圖象可知M在BA的延長線上時，＜n＜．