Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，點分別在兩個半圓上（不與點重合），的長分別是關于的方程的兩個實數根．

（1）的值為_____；

（2）連接三者之間的等量關系為_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

（1）由方程有實數根可得出≥0，化簡得（m-5）2≤0，由偶次方的非負性即可求出m的值；
（2）由（1）可得出AD=BD，將△ADC繞點D逆時針旋轉90°后，得△BDE，根據旋轉的性質以及圓內接四邊形的性質，可得出點C、B、E三點共線且△CDE為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得出AC+BC=CD．

解：（1）∵AD、BD的長分別是關于x的方程的兩個實數根，
∴b2-4ac≥0，即（-10）2-4×1×（m2-10m+225）≥0，
化簡整理，得：m2-10m+25≤0，即（m-5）2≤0．
又∵（m-5）2≥0，
∴m=5．

故答案為：5；
（2）由（1）得，當m=5時，b2-4ac=0，∴AD=BD．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．
將△ADC繞點D逆時針旋轉90°后，得△BDE，如圖所示．

∴△ADC≌△BDE，
∴∠DAC=∠DBE，CD=ED，∠ADC=∠BDE．
∵∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBE+∠DBC=180°，
∴點C、B、E三點共線．
∵∠ADC+∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB+∠BDE=90°．
又∵CD=ED，
∴△CDE為等腰直角三角形．
∴CE=CD，
即AC+BC=CD．

故答案為：AC+BC=CD．