Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是ts．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明；
（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值；
（3）分別從∠EDF=90°與∠DEF=90°兩種情況討論即可求解．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4tcm，AE=2tcm，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴DF=AE；

（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即當t=10時，?AEFD是菱形；

（3）解：當t=$\frac{15}{2}$時△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．
理由如下：
當∠EDF=90°時，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4tcm，
∴DF=AE=2tcm，
∴AD=2AE=4tcm，
∴4t+4t=60，
∴t=$\frac{15}{2}$時，∠EDF=90°．
當∠DEF=90°時，DE⊥EF，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
AD=AC-CD=60-4t（cm），AE=DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴60-4t=t，
解得t=12．
綜上所述，當t=$\frac{15}{2}$時△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了動點問題、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、直角三角形的性質以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．