Question

9．閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，若這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題．
（1）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；
（2）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB與BC的數量關系．

Answer 1

分析 （1）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．
（2）由點E是矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據相似三角形的對應角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質可得BE與AB之間的數量關系．

解答 （2）如圖所示：點E是四邊形ABCD的邊AB上的強相似點，


（3）結論：BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
理由：如圖③中，

∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB．
∴點E是AB的中點時，點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
設AE=BE=a，則EC=2a，
在Rt△EBC中，BC=$\sqrt{E{C}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴AB：BC=2a：$\sqrt{3}$a=2：$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．

點評 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對應邊成比例的性質，讀懂題目信息，理解強相似點的定義是解題的關鍵，本題的突破點是發現∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，屬于中考壓軸題．