Question

【題目】已知如圖1，在以O為原點的平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過點G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．

（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；

（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點，點D到直線l的距離記為d，當d＝DO時，求t的值．

（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點，在拋物線上是否存在點F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點F的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）t＝﹣2；（3）存在點F，使得△BEF是直角三角形，點F的坐標為（6，8）．

【解析】

（1）根據點C坐標，可得c＝﹣1，然后根據AO＝2CO，可得出點A坐標，將點A坐標代入求出b值，即可得出函數解析式；

（2）根據拋物線的解析式求得D的坐標為（﹣4，3），即可求得OD＝5，結合D的縱坐標3，即可求得t＝﹣2．

（3）分兩種情況討論：當B點為直角頂點時，則BF⊥BE，根據直線BE的解析式求得直線BF的解析式，然后和拋物線解析式聯立方程，求得交點坐標即可；當F點為直角頂點時，求得到直線BE上距離為最大值的點P的坐標，然后求得線段BE的中點Q到P點的距離，和BE的一半比較即可判斷以BE為直徑的圓與拋物線無交點，故此種情況不存在，綜上求得F點的坐標．

（1）∵C（0，﹣1），

∴y＝x2+bx﹣1，

又∵AO＝2OC，

∴點A坐標為（﹣2，0），

代入得：1﹣2b﹣1＝0，

解得：b＝0，

∴解析式為：y＝x2﹣1；

（2）∵D（﹣4，m）為拋物線y＝x2﹣1上一定點，

∴m＝×16﹣1＝3，

∴D（﹣4，3），

∴OD＝＝5，

∴d＝5，

∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；

（3）點E（﹣4，m）在拋物線y＝x2﹣1的上，

∴m＝3，

∴E（﹣4，3），

∵B（2，0），

∴直線BE為y＝﹣x+1，

如圖1，當B點為直角頂點時，則BF⊥BE，

∴直線BF的斜率為2，

設直線BF的解析式為y＝2x+n，

把B（2，0）代入得2×2+n＝0，

∴n＝﹣4，

∴直線BF的解析式為y＝2x﹣4，

解得或，

∴F（6，8）；

當F點為直角頂點時，

設BE的平行線y＝﹣x+b與拋物線有且只有一個交點P，

∴﹣x+b＝x2﹣1，

整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，

∴＝4+4（4b+4）＝0，

解得b＝﹣，

∴平行線為y＝﹣﹣，

∴x2+2x+1＝0，

解得x＝﹣1，

∴y＝﹣，

∴平行線與拋物線的交點P為（﹣1，﹣），

∵B（2，0），E（﹣4，3），

∴BE＝ ，

∴BE的中點Q為（﹣1，），

∴QP＝+＝＜＝BE，

∴此種情況不存在，

故在拋物線上存在點F，使得△BEF是直角三角形，點F的坐標為（6，8）．