Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；

（3）設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A，B，D，E為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為 　．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）（2，﹣1）

【解析】

（1）根據拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0），所以設拋物線的頂點式，將點A的坐標代入即可求得h，得到拋物線的函數表達式．

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．根據拋物線的對稱性質得到PA=PB，則△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據兩點間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可．

（3）如圖2，根據“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點D是拋物線的頂點坐標，即（2，﹣1）．

解：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2，

∴點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（3，0）．

設拋物線的函數表達式為，

將A（1，0）代入得：，解得．

∴拋物線的函數表達式為，即．

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．

由（1）拋物線解析式為，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3）．

∴,．

∵點A、B關于對稱軸x=2對稱，∴PA=PB．∴PA+PC=PB+PC．此時，PB+PC=BC．

∴點P在對稱軸上運動時，（PA+PB）的最小值等于BC．

∴△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如圖2，根據“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點D是拋物線y=x2-4x+3的頂點坐標，即（2，-1），

當E、D點在x軸的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此時不合題意，

故點D的坐標為：（2，-1）．