Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P在邊AD上以每秒2個單位的速度從A出發，沿AD向D運動，同時動點Q在邊BD上以每秒5個單位的速度從D出發，沿DB向B運動，當其中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

（1）填空：當某一時刻t，使得t＝1時，P、Q兩點間的距離PQ＝　 　；

（2）是否存在以P、D、Q中一點為圓心的圓恰好過另外兩個點？若存在求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，t的值為s或s或s．

【解析】

（1）根據矩形的性質得到∠BAD＝90°，根據勾股定理得到BD＝10，過Q作QE⊥AD于E，根據三角形的中位線的性質得到EQ＝AB＝3，PE＝2，根據勾股定理即可得到結論；

（2）由題意得到AP＝2t，DQ＝5t，PD＝8﹣2t，根據平行線分線段成比例定理得到QE＝3t，根據勾股定理得到PQ＝，當D是圓心時，PD＝DQ，當P是圓心時，PD＝PQ，當Q是圓心時，PQ＝DQ，列方程即可得到結論．

（1）∵t＝1，

∴AP＝2，DQ＝5，

∴PD＝6，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴Q為BD的中點，

過Q作QE⊥AD于E，

∴QE∥AB，

∴AE＝DE＝4，

∴EQ＝AB＝3，PE＝2，

∴PQ＝＝；

故答案為：；

（2）存在，

理由：∵AP＝2t，DQ＝5t，

∴PD＝8﹣2t，

由（1）知，QE∥AB，

∴，

∴，

∴QE＝3t，

∴DE＝4t，

∴PE＝8﹣6t，

∴PQ＝，

當D是圓心時，PD＝DQ，

∴8﹣2t＝5t，

解得：t＝；

當P是圓心時，PD＝PQ，

∴8﹣2t＝，

解得：t＝，或t＝0（舍去）；

當Q是圓心時，PQ＝DQ，

∴5t＝，

解得：t＝或t＝4（舍去），

綜上所述：t的值為s或s或s．