Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；
（3）當AD：AB=時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中點，

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）

（2）解：四邊形MENF是菱形．

證明如下：

∵E，F，N分別是BM，CM，CB的中點，

∴NE∥MF，NE=MF．

∴四邊形MENF是平行四邊形．

由（1），得BM=CM，∴ME=MF．

∴四邊形MENF是菱形

（3）2：1
【解析】（3）解： 當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形．理由：
∵M為AD中點，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．
∵四邊形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案為：2：1．
（1）根據矩形的性質可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根據M是AD的中點，可得AM=DM，然后再利用SAS證明△ABM≌△DCM；（2）四邊形MENF是菱形．首先根據中位線的性質可證明NE∥MF，NE=MF，可得四邊形MENF是平行四邊形，再根據△ABM≌△DCM可得BM=CM進而得ME=MF，從而得到四邊形MENF是菱形；（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，證明∠EMF=90°根據有一個角為直角的菱形是正方形得到結論．