Question

已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，內接矩形EFGH的頂點E、F在BC上，G、H分別在AC、AB上，求內接矩形EFGH的最大面積．

Answer 1

分析：設HG=x，PD=y，根據矩形的對邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根據矩形的面積公式求解并整理，再利用二次函數的最值問題進行求解即可．

解答：解：如圖，設HG=x，PD=y，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴

AP

AD

=

HG

BC

，
∵BC=20，AD=16，
∴

16-y

16

=

x

20

，
解得y=-

4

5

x+16，
∴矩形EFGH的面積=xy=x（-

4

5

x+16）=-

4

5

（x-10）²+80，
∴當x=10，即HG=10時，內接矩形EFGH有最大面積，最大面積是80．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，二次函數的最值問題，根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出矩形EFGH的長與寬的關系是解題的關鍵．