Question

在矩形ABCD中，點P是邊AD上的動點，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點Q，垂足為點M，連接QP（如圖）．已知AD=13，AB=5，設AP=x，BQ=y．

（1）求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，求x的值；
（3）點E在邊CD上，過點E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值．

Answer 1

解：（1）根據題意，得AP=x，BQ=y，AB=5，，
∵QM是線段BP的垂直平分線，∴。
易得△ABP∽△MQB，∴，即。
化簡，得。
∴y關于x的函數解析式為，x的取值范圍為。
（2）根據題意，⊙P和⊙Q的圓心距PQ="BQ=" y，⊙P的半徑為，⊙Q的半徑為，
若⊙P和⊙Q外切，則，即。
代入，得
解得 。
∴當以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，。
（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，
∴PQ和BC是以點E 為圓心，4為半徑圓的兩條切線。
連接EQ，

易得，△ABP∽△CEQ，∴。
∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ=，
∴，即。
代入，得
整理，得，解得。
∴滿足條件的x值為：或。

試題分析：（1）由△ABP∽△MQB列比例式即可得y關于x的函數解析式。
當y=13時，，解得，此為x的最小值；最大值為13。因此，x的取值范圍為。
（2）若⊙P和⊙Q外切，圓心距等于兩半徑之和，據此列式化簡代入（1）的函數關系式求解。
（3）根據題意，PQ和BC是以點E 為圓心，4為半徑圓的兩條切線，從而可得△ABP∽△CEQ，據此列比例式簡代入（1）的函數關系式求解。