Question

如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求證：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q；
（i）當點P與A，B兩點不重合時，求的值；
（ii）當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

解：（1）證明：如圖，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。
∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，
∴△ABD≌△CEB（AAS）。∴AB=CE。
∴AC=AB+BC=AD+CE。
（2）（i）如圖，連接DQ，

∵∠DPQ=∠DBQ="90°,"
∴D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上。
∴∠DQP=∠DBP。
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴。
∵DA=3，AB=EC=5，∴。
（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為。

（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證。
（2）（i）如圖，連接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上，從而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB，因此。
（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN。
當點P運動至AC中點時，AP=4，

∴在Rt△ADP中，根據勾股定理得：DP=5。
由得。
∴在Rt△DPQ中，根據勾股定理得：。
又在Rt△ADP中，根據勾股定理得：。
∵MN是△BDQ的中位線，
∴。
∴在Rt△DMN中，根據勾股定理得：。
∴線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為。