Question

如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD．

（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；
②將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD、AF，求BD²+AF²的值．

Answer 1

解：（1）①BF=AD，BF⊥AD。
②BF=AD，BF⊥AD仍然成立。證明如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC。
∵四邊形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠FCD=90°。
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。
在△BCF和△ACD中，∵BC=AC，∠BCF=∠ACD，CF=CD，
∴△BCF≌△ACD（SAS）。∴BF=AD，∠CBF=∠CAD。
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。
∴BF⊥AD。
（2）連接DF，

∵四邊形CDEF是矩形，∴∠FCD=90°。
又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD。
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。
∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，
∴B。∴△BCF∽△ACD。∴∠CBF=∠CAD。
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。
∴BF⊥AD。∴∠BOD=∠AOB=90°。
∴BD²=OB²+OD²，AF²=OA²+OF²，AB²=OA²+OB²，DF²=OF²+OD²。
∴BD²+AF²=OB²+OD²+OA²+OF²=AB²+DF²。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB²=AC²+BC²=3²+4²=25。
∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=，CF=1，∴。
∴。

試題分析：（1）①證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結論。
②證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結論。
（2）連接FD，根據（1）得出BO⊥AD，根據勾股定理得出BD²=OB²+OD²，AF²=OA²+OF²，AB²=OA²+OB²，DF²=OF²+OD²，推出BD²+AF²=AB²+DF²，即可求出答案。