Question

（2013年四川瀘州2分）如圖，在等腰直角△ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：
（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．其中正確的結論有【　　】

A．1個　　　　　B．2個　　　　　C．3個　　　　　D．4個

Answer 1

C。

結論（1）錯誤。理由如下：
圖中全等的三角形有3對，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE：
由等腰直角三角形的性質，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。
在△AOD與△COE中，∵，∴△AOD≌△COE（ASA）。
同理可證：△COD≌△BOE。
結論（2）正確。理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE。
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=S_△ABC，
即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍。
結論（3）正確。理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴CE=AD。∴CD+CE=CD+AD=AC=OA。
結論（4）正確。理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。
∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²。
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。
又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形。∴DE²=2OE²，∠DEO=45°。
∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE。∴，即OP•OC=OE²。
∴DE²=2OE²=2OP•OC。∴AD²+BE²=2OP•OC。
綜上所述，正確的結論有3個。故選C。