Question

拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

（其中n是正整數(shù)）與x軸交于A_n、B_n兩點，若以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁=

 

；A₁B₁+A₂B₂=

 

；A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃+…+A_nB_n=

 

．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：規(guī)律型

分析：先化簡拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，然后求出一元二次方程的根，根據(jù)兩點間的坐標(biāo)差求出距離，找出規(guī)律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）
故拋物線與x軸交點坐標(biāo)為（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由題意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

．
所以 A₁B₁=1-

1

2

=

1

2

，
A₁B₁+A₂B₂=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）=

1

2

+

1

6

=

2

3

A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃+…+A_nB_n═（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案是：

1

2

；

2

3

；

n

n+1

．

點評：本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程，在解答過程中，注意二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并從中擇取有用信息解題；求兩點間的距離時，要利用兩點間的坐標(biāo)差來解答．