Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4

3

，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是BC的中點，連接OD，OB，DE．
（1）求證：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

Answer 1

（1）證明：連接CD，∵AC是直徑，∴∠ADC=∠BDC=90°，（2分）
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=EC．（3分）
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．（4分）
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，（5分）
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE．（6分）

（2）過O作OF⊥AD；（7分）
∵在Rt△ABC中，tanA=

BC

AC

=

3

，
∴∠A=60°，∴△AOD是邊長為2的等邊三角形，
∴OF=

3

．（8分）
在Rt△BOC中，BO=

4+48

=2

13

，（9分）
∴sin∠ABO=

OF

OB

=

3

2 13

=

39

26

．（10分）