Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC為割線，∠APC的平分線PF交AC于點F，交AB于點E．
（1）求證：AE=AF；
（2）若PB：PA=1：2，M是

BC

上的點，AM交BC于D，且PD=DC，試確定M點在BC上的位置，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵PF平分∠APC，
∴∠1=∠2，
又∵PA是⊙O的切線，
∴∠C=∠PAB．
∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．

（2）M點在

BC

的中點上，
證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點，PBC為割線，
∴PA²=PB×PC，
∵PB：PA=1：2，
假設PB=x，PA=2x，
∴4x²=x•PC，
∴PC=4x，
∵PD=DC，
∴PD=DC=2x，
∴PA=PD，
又∵∠1=∠2，
∴PN⊥AD，（等腰三角形的三線合一），
∴AN⊥EF，
∵AE=AF，
∴∠EAN=∠FAN，
∴

BM

=

CM

，
∴M點在

BC

的中點上．