Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（﹣ ，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，∠ABO=30°，OB=3OC．

（1）試說明直線AC與直線AB垂直；
（2）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：結論：AC⊥AB．理由如下：

∵A（ ，0），

∴OA= ，

∵∠ABO=30°，tan∠ABO= = ，

∴BO=3，

∵OB=3OC，

∴OC=1，

∴tan∠ACO= = ，

∠ACO=60°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（2）

解：如圖1中，過D作DE⊥x軸于E，

∴∠DEA=∠AOC=90°，

∵tan∠ACO= = ，

∵∠DCB=60°

∵DB=DC，

∴△DBC是等邊三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA=AC，

∵∠DAE=∠OAC，

在△ADE和△ACO中， ，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE=OC=1，AE=OA=

∴OE=2 ，

∴D的坐標為（﹣2 ，1）；

（3）

解：設直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點E，

把B（0，3）和D（﹣2 ，1）代入y=mx+n，

∴ ，解得 ，

∴直線BD的解析式為：y= x+3，

令y=0代入y= x+3，

∴x=﹣3 ，

∴E（﹣3 ，0），

∴OE=3 ，

∴tan∠BEC= = = ，

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

當PA=AB時，如圖2，

此時，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標為（﹣3 ，0），

當PA=PB時，如圖3，

此時，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴點P的橫坐標為﹣ ，

令x=﹣ 代入y= x+3，

∴y=2，

∴P（﹣ ，2），

當PB=AB時，如圖4，

∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，

若點P在y軸左側時，記此時點P為P1，

過點P1作P1F⊥x軸于點F，

∴P1B=AB=2 ，

∴EP1=6﹣2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴FP1=3﹣ ，

令y=3﹣ 代入y= x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣ ），

若點P在y軸的右側時，記此時點P為P2，

過點P2作P2G⊥x軸于點G，

∴P2B=AB=2 ，

∴EP2=6+2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴GP2=3+ ，

令y=3+ 代入y= x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+ ），

綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（﹣3 ，0），（﹣ ，2），（﹣3，3﹣ ），（3，3+ ）．

【解析】（1）根據三角函數求出OB，即可求得OC，再由三角函數求得∠ACO，即可解決問題；（2）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA= ，求出點D坐標；（3）A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標即可．
【考點精析】利用含30度角的直角三角形和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．