Question

（本題滿分12分）
已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F。
小題1:（1）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；
小題2:（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由。

Answer 1

小題1:（1）證明：如圖I，分別連接OE、0F
∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分別為DC、CB中點
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD
∴0E=OF=OA  ∴點O即為△AEF的外心
小題2:（2）
①猜想：外心P一定落在直線DB上。
證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上。
②為定值2.
當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由（1）
可得點P即為△AEF的外心
解法一：如圖3．設MN交BC于點G
設DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，則 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴
∴，即
其它解法略。

略