Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點A、B、D、E在圓O上，弧AE＝弧DE，連接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．

（1）求AE的長；

（2）求證：BC是圓O的切線；

（3）求tan∠ABC．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據相似三角形的性質和判定即可得到答案；

（2）根據平行線的性質和圓切線的判定即可得到答案；

（3）根據三角函數和勾股定理即可得到答案.

解：（1）∵弧AE＝弧DE

∴∠DAE＝∠EBA，且∠AEF＝∠AEB

∴△AEF∽△BEA

∴

∴AE2＝BEEF，且EF＝2，BF＝4．

∴AE2＝2×6＝12

∴

（2）連接OE交AD于點H，連接OB，

∵△AEF∽△BEA

∴∠BAE＝∠AFE＝∠BFC＝45°

∴∠BOE＝90°，

∵，OE是半徑

∴OE⊥AD，且∠C＝90°，

∴OE∥BC，且∠BOE＝90°

∴∠OBC＝90°，

即OB⊥BC，

∴BC是圓O的切線

（3）∵BF＝4，∠C＝90°，∠BFC＝45°

∴CF＝CB＝2

∵∠EHF＝90°，EF＝2，∠EFH＝45°

∴EH＝HF＝

∴AH＝＝

∴AC＝AH+HF+CF＝

∴tan∠ABC＝＝＝