Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，AE與BD交于點P，F是CD上的一點，連接AF分別交BD，DE于點M，N，且AF⊥DE，連接PN，則下列結論中:

①；②；③tan∠EAF=；④正確的是（）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用正方形的性質，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再證明△ABM∽△FDM，即可解答①；根據題意可知：AF＝DE＝AE＝，再根據三角函數即可得出③；作PH⊥AN于H．利用平行線的性質求出AH＝，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④

解：∵正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，

∴∠DAN＝∠EDC，

在△ADF與△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE（ASA），

∴DF＝CE＝1，

∵AB∥DF，

∴△ABM∽△FDM，

∴，

∴S△ABM＝4S△FDM；故①正確；

根據題意可知：AF＝DE＝AE＝，

∵ ×AD×DF＝×AF×DN，

∴DN＝ ，

∴EN＝，AN＝，

∴tan∠EAF＝，故③正確，

作PH⊥AN于H．

∵BE∥AD，

∴，

∴PA＝，

∵PH∥EN，

∴，

∴AH＝，

∴PH=

∴PN＝，故②正確，

∵PN≠DN，

∴∠DPN≠∠PDE，

∴△PMN與△DPE不相似，故④錯誤．

故選：A．