Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，過O點的射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點P，下列結論：

①圖形中全等的三角形只有三對； ②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；④BE+BF＝OA；⑤AE2+BE2＝2OPOB．其中正確的個數有（　　）個．

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

由正方形的性質和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對，得出①不正確；由△AOE≌△BOF，得出對應邊相等OE=OF，得出②正確；由△AOE≌△BOF，得出四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積，③正確；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，④錯誤；由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2，再證明△OPF∽△OFB，得出對應邊成比例OP：OF=OF：OB，得出OF2=OPOB，得出⑤正確．

解：①不正確；

圖形中全等的三角形有四對：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∠BAO＝∠BCO＝45°，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

∵點O為對角線AC的中點，

∴OA＝OC，

在△AOB和△COB中，

，

∴△AOB≌△COB（SSS）；

∵AB＝CB，OA＝OC，∠ABC＝90°，

∴∠AOB＝90°，∠OBC＝45°，

又∵∠EOF＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；

同理：△BOE≌△COF（ASA）；

②正確；理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴OE＝OF，

∴△EOF是等腰直角三角形；

③正確．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴四邊形OEBF的面積＝△ABO的面積＝正方形ABCD的面積；

④不正確．理由如下：

∵△BOE≌△COF，

∴BE＝CF，

∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝AB＝OA；

⑤正確．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴AE＝BF，

∴AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝2OF2，

在△OPF與△OFB中，

∠OBF＝∠OFP＝45°，

∠POF＝∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

∴OP：OF＝OF：OB，

∴OF2＝OPOB，

∴AE2+CF2＝2OPOB．

正確結論的個數有3個；

故選：B．