Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，點P從點B出發，沿BC以1厘米/秒的速度向點C移動，點Q從點C出發，沿折線CAB以2厘米/秒的速度向點B移動．問：
（1）經過多少秒后，PQ平分△ABC的面積；
（2）經過多少秒后，△CPQ為直角三角形．

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：（1）可設經過x秒后，PQ平分△ABC的面積，根據速度×時間=路程和三角函數分別表示出△CPQ中PC邊和PC邊高的長度，再分兩種情況：Q在AC邊；Q在AB邊；根據三角形面積公式即可求解；
（2）可設經過y秒后，△CPQ為直角三角形，根據速度×時間=路程分別表示出△CPQ中PC邊和QC邊，再根據三角函數分兩種情況：∠PQC=90°；∠QPC=90°；即可求解．

解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，
∴AC=

62+82

=10厘米．
（1）設經過x秒后，PQ平分△ABC的面積，依題意有
Q在AC邊：

1

2

（8-x）×（

1

2

×2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
化簡得x²-8x+24=0，
∵△=8²-4×24=-32＜0，
∴方程無解；
Q在AB邊：

1

2

（8-x）×（6+10-2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
解得x₁=8+2

3

（不合題意舍去），x₂=8-2

3

（不合題意舍去）．

（2）設經過y秒后，△CPQ為直角三角形，依題意有
當∠PQC=90°時，

3

2

×（8-y）=2y，解得y=

32 3 -24

13

；
當∠QPC=90°時，8-y=

3

2

×2y，解得y=4（

3

-1）．
綜上所述，經過

32 3 -24

13

秒或4（

3

-1）秒后，△CPQ為直角三角形．

點評：本題考查了三角形的面積公式的運用，列一元二次方程解設計問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據三角形的面積公式建立方程是關鍵．