Question

如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

1

2

，

5

2

）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）將點B坐標代入直線解析式，求出m的值，然后把A、B坐標代入二次函數解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）設動點P的坐標為（n，n+2），點C的坐標為（n，2n²-8n+6），表示出PC的長度，然后利用配方法求出二次函數的最大值，并求出此時n的值．

解答：解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∵A（

1

2

，

5

2

）和B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6上，
∴

( 1 2 )2a+ 1 2 b+6= 5 2 16a+4b+6=6

，
解得：

a=2 b=-8

，
∴拋物線的解析式y=2x²-8x+6；

（2）存在．
設動點P的坐標為（n，n+2），點C的坐標為（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-

9

4

）²+

49

8

，
∵-2＜0，
∴開口向下，有最大值，
∴當n=

9

4

時，線段PC有最大值

49

8

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，涉及了待定系數法求函數解析式，配方法求最值等知識點，解答本題案的關鍵是根據解析式設出點P和點C的坐標，列出PC的代數式．