Question

如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙0,交BC于點D,連接AD,過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙0的切線．（2）如果⊙0的半徑為5,sin∠ADE=,求BF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BF=．

試題分析：（1）連結OD,AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°,由AB=AC,根據等腰三角形性質得AD平分BC,即DB=DC,則OD為△ABC的中位線,所以OD∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由∠DAC=∠DAB,根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在Rt△ADE中可計算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可計算出BF．
試題解析：（1）連結OD,如圖,

∵AB為⊙0的直徑,
∴∠ADB="90°,"
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,即DB="DC,"
∵OA=OB,
∴OD為△ABC的中位線,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切線；
（2）∵∠DAC=∠DAB,
∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE=,
∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA,
∴,即,
∴BF=．