Question

如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，沿它的一條弦折疊．若折疊后的圓弧與直徑AB相切于點D，且AD:DB＝3:1，則折痕EF的長      ．

Answer 1

．

試題分析：如圖，過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點為A、G，過切點F作PF⊥半徑OC交OP于P點，

∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP為BC的中垂線. ∴OP必過弧BGC所在圓的圓心.
又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，∴PF必過弧BGC所在圓的圓心.
∴點P為弧BGC所在圓的圓心.
∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD.
∴OG=AP.
而F點分⊙O的直徑為3：1兩部分，∴OF=1.
在Rt△OPF中，設OG=x，則OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=.
∴AG=2-（）=.∴DG=.∴OD=OG+DG=.
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（）²，∴BD=.
∴BC=2BD=．