Question

17．在平面直角坐標系xOy中，點A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個交點為E．給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點B，點C和點D，使得四邊形ABCD是矩形（點A，B，C，D順時針排列），則稱矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．
例如，圖中的矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．

（1）若點A（-1，2），四邊形ABCD為直線x=-1的“位置矩形”，則點D的坐標為（-1，0）；
（2）若點A（1，2），求直線y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面積；
（3）若點A（1，-3），直線l的“位置矩形”面積的最大值為5，此時點D的坐標為（3，-2）或（-1，-2）．

Answer 1

分析 （1）只需根據新定義畫出圖形就可解決問題；
（2）過點A作AF⊥y軸于點F，連接AO、AC，如圖2，根據點A（1，2）在直線y=kx+1上可求出k，設直線y=x+1與y軸相交于點G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根據勾股定理可求出AG、AB、BC的值，從而可求出“位置矩形”ABCD面積；
（3）設“位置矩形”的一組鄰邊長分別為x、y，則有x²+y²=10．由（x-y）²=x²+y²-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，當且僅當x=y時，xy取最大值是5，此時“位置矩形”是正方形，然后分點D在第四象限（如圖3）和第三象限（如圖4）兩種情況討論，就可解決問題

解答 解：（1）如圖1，

點D的坐標為（-1，0）．
故答案為（-1，0）；

（2）過點A作AF⊥y軸于點F，連接AO、AC，如圖2．

∵點A的坐標為（1，2），
∴AC=AO=$\sqrt{5}$，AF=1，OF=2．
∵點A（1，2）在直線y=kx+1上，
∴k+1=2，
解得k=1．
設直線y=x+1與y軸相交于點G，
當x=0時，y=1，點G（0，1），OG=1，
∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，
∴∠FGA=45°，AG=$\sqrt{2}$．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=$\sqrt{2}$．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴所求“位置矩形”ABCD面積為AB•BC=$\sqrt{6}$；

（3）設“位置矩形”的一組鄰邊長分別為x、y，
則有x²+y²=AC²=AO²=1²+3²=10．
∵（x-y）²=x²+y²-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
當且僅當x=y時，xy取最大值是5，此時“位置矩形”是正方形． 
①當點D在第四象限時，如圖3，

過點A作x軸的平行線，交y軸于點M，交過點D平行于y軸的直線于點N，
∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DAN，
在RtAMB和Rt△DNA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠DNA}\\{∠ABM=∠DAN}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴RtAMB≌Rt△DNA，
則有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴點D的坐標為（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②當點D在第三象限時，如圖4，

過點A作x軸的平行線，交y軸于點N，交過點D平行于y軸的直線于點M，
同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，
則有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴點D的坐標為（1-2，-3+1）即（-1，-2）．  
故答案為：5、（3，-2）或（-1，-2）．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了用待定系數法求直線的解析式、圓的定義、矩形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函數值等知識，還考查了分類討論的思想，運用公式（x-y）²=x²+y²-2xy推出當“位置矩形”是正方形時面積最大是解決第3小題的關鍵．