Question

6．綜合與實踐
問題情境
    在綜合實踐課上，老師讓同學們“以三角形的旋轉”為主題進行數學活動，如圖（1），在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）創(chuàng)新小組將圖（1）中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針旋轉角度α，得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉角度α，得到△AFG，連接DF，得到圖（2），則四邊形AFDE的形狀是平行四邊形．
（2）實踐小組將圖（1）中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針逆轉90°，得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉90°，得到△AFG，連接DF、DG、AE，得到圖（3），發(fā)現(xiàn)四邊形AFDB為正方形，請你證明這個結論．
拓展探索
（3）請你在實踐小組操作的基礎上，再寫出圖（3）中的一個特殊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質和旋轉角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形；
（2）由旋轉的性質和旋轉角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形，再由旋轉角是90°，即可得出結論；
（3）由旋轉的性質和旋轉角度判斷出△ABE≌△DFG即可得出結論．

解答 （1）證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的．
∴DE=AC=AF，∠BAF=α，∠DBE=∠ABC=α，∠DEB=∠C=α，
∴∠DEB=∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE=AF，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形；
（2）證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的，
∴∠DBA=∠FAB=90°，DB=AB=AF，
∴∠DBA+∠FAB=180°，
∴DB∥AF，
∵DB=AF，
∴四邊形DBAF是平行四邊形，
∵∠DBA=90°
∴平行四邊形DBAF是正方形．
（3）四邊形AEDG是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABDF是正方形，
∴∠DFA=∠DBA=90°，AB=DF
又∵∠DBE=∠AFG=α，
∴∠EBA=∠GFD．
在△ABE和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠EBA=∠GFD}\\{BE=GF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DFG，
∴AE=DG，
又∵DE=AG=AB，
∴四邊形DEAG是平行四邊形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質和判定，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，掌握旋轉的性質和靈活運用旋轉的性質是解本題的關鍵，是一道中等難度的中考常考題．