Question

2．在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A（-6，0），與y軸交于B（0，6）．

（1）求S_△ABO．
（2）D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點F的坐標．
（3）如圖②，點E為y軸正半軸上一點，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段OA上一動點，試求OM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先確定出OA=OB=6，從而求得△ABO的面積．
（2）先判斷出△DEM≌△BDO得出EM=DO，MD=OB=OA=6，進而判斷出AM=EM，即可得出∠OAF=45°，即可得出點F坐標，最后用待定系數法得出直線EA解析式．
（3）由已知可在線段OA上任取一點N，又由AF是∠OAE的平分線，再在AE作關于OF的對稱點N′，當點N運動時，ON′最短為點O到直線AE的距離．由已知∠OAE=30°，得直角三角形，OA=6，所以得OM+NM=3．

解答 解：（1）∵直線AB與x軸交于點A（-6，0），與y軸交于B（0，6）．
∴OA=6，OB=6，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
（2）如圖1，過點E作EM⊥x軸于M，
∴∠MDE+∠DEM=90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB，∠BDE=90°，
∴∠MDE+∠BDO=90°，
∴∠DEM=∠BDO，
在△DEM和△BDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠BOD=90°}\\{∠DEM=∠BDO}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△BDO，
∴EM=DO，MD=OB=OA=6，
∴AM=DM+AD=6+AD，
EM=OD=OA+AD=6+AD，
∴EM=AM，
∴∠MAE=45°=∠OAF，
∴OA=OF，
∴F（0，-6）
設直線EA解析式為y=kx-6，
∵A（-6，0），
∴-6k-6=0，
∴k=-1，
∴直線EA解析式為y=-x-6；
（3）如圖2

過點O作OG⊥AE于G，交AF于M，過點G作GN⊥OA，
連接MN，在線段OA上任取一點N，
∴OM+NM的值最小的是點O到點N關于直線AF對稱點N′之間線段的長．
當點N運動時，ON′最短為點O到直線AE的距離，即點O到直線AE的垂線段的長．
在Rt△OAG中，∠OAE=30°，OA=6，
∴OG=3，
∴OM+MN的最小值為3．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形面積公式，全等三角形的判斷和性質，對稱的性質，解本題的關鍵是AM=EM，是一道比較簡單的中考常考題．