Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，BD是對角線．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，請證明四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】(1)由平行四邊形性質(zhì)得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，再由E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，證AE=CF，根據(jù)SAS證△ADE≌△CBF.

（2）由DF和BE平行且相等，證四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，可得BF=DF，所以四邊形BEDF是菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵ ，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

(2）證明：∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，

∴DF= DC，BE=AB，

又∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形DEBF為平行四邊形，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴△DBC為直角三角形，

又∵F為邊DC的中點(diǎn)，

∴BF= DC=DF，

又∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴四邊形DEBF是菱形．