Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小，請求出點P的坐標；

（3）設二次函數的圖象與x軸的另一交點為點C，連接BC，點N是線段BC上一點，過點N作y軸的平行線交拋物線于點M，求當四邊形OBMN為平行四邊形時，點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，-3）；（3）N或．

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；

（2）設拋物線與x軸的另一交點為C，根據（1）所得的函數解析式即可求得A、B、C的坐標；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP＋BP的長最小；由于A、C關于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點即為所求的P點，可先求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點的坐標；

（3）根據OBMN為平行四邊形，得到OB=NM=5且OB∥NM,設點N坐標為（x,x-5），則M點坐標為（x,）得到NM=（x-5）-(),令NM=5即可解出x,即可求解.

（1）根據題意，得，

解得，

∴二次函數的表達式為y＝x24x5；

（2）令y＝0，得二次函數y＝x24x5的圖象與x軸的另一個交點坐標C（5，0）；

由于P是對稱軸x＝2上一點，

連接AB，由于AB＝，

要使△ABP的周長最小，只要PA＋PB最小；

由于點A與點C關于對稱軸x＝2對稱，連接BC交對稱軸于點P，則PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根據兩點之間，線段最短，可得PA＋PB的最小值為BC；

因而BC與對稱軸x＝2的交點P就是所求的點；

設直線BC的解析式為y＝kx＋b，

根據題意可得

解得

所以直線BC的解析式為y＝x5；

因此直線BC與對稱軸x＝2的交點坐標是方程組的解，

解得，

所求的點P的坐標為（2，3）；

（3）∵OBMN為平行四邊形，

∴OB=NM=5且OB∥NM,

設點N坐標為（x,x-5），則M點坐標為（x,）

∴NM=（x-5）-(),

令NM=5即（x-5）-()=5，

解得x1=，x2=

故點N的坐標為或．