Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8 cm，點P在邊BC上沿B到C的方向以每秒1cm的速度運動（不與點B，C重合），點Q在AC上，且滿足∠APQ=∠B，設點P運動時間為t秒，當△APQ是等腰三角形時，t=_____．

Answer 1

【答案】3或．

【解析】

分兩種情形①如圖1中，當PA＝PQ時，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．②如圖2中，當QA＝QP時，作PE⊥AC于E．分別求解即可．

①如圖1中，當PA＝PQ時，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．

∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BC＝8，

∴BF＝CF＝4，∠B＝∠C，

∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APQ＋∠QPC，

∵∠APQ＝∠B，

∴∠BAP＝∠QPC，

∴△BAP∽△CPQ，

∴，

∴，

∴CQ＝，

∵PA＝PQ，PE⊥AQ，

∴AE＝EQ＝，

∵cos∠C＝＝，

∴，

解得t＝3或13（舍棄）

②如圖2中，當QA＝QP時，作PE⊥AC于E．

∵QA＝QP，

∴∠QAP＝∠QPA＝∠C，

∴PA＝PC，∵PE⊥AC，

∴AE＝EC＝，

由cos∠C＝，得到，

解得t＝，

綜上所述，t＝3秒或秒時，△PQA是等腰三角形．

故答案為3秒或秒．