Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，點E是⊙A上的任意一點，將點E繞點D按逆時針方向轉轉90°得到點F，連接AF、DF，則的最小值是__．

Answer 1

【答案】5

【解析】

連接AE，CF，易證△ADE≌△CDF，所以CF=AE，可知F點在以C為圓心，2為半徑的圓上運動，作出運動軌跡，在CD上截取CM=CF=1，利用相似可得FM=DF，當A、F、M三點共線時，AM的長度即為的最小值.

如圖，連接AE，CF，

∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）

∴CF=AE，

∴F點在以C為圓心，2為半徑的圓上運動，

如圖所示，以C為圓心，2為半徑作圓C，

在CD上截取CM=CF=1，

∵，，

∴

又∵∠FCM=∠DCF

∴△CMF∽△CFD

∴，即

∴

當A、F、M三點共線時，AM的長度即為的最小值，

在Rt△ADM中，AD=4，DM=CD-CM=3，

∴

故答案為：5.