Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一個動點，求使與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點P的坐標；
（3）求△APD的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，（1，4）；（2）點P的坐標是（2，3）；（3）△APD的面積是3．

【解析】

（1）根據拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A（-1，0），代入即可求出a、c的值，即得到解析式，化成頂點式就能求出頂點坐標；
（2）連接BC，過點D作DE⊥x軸于點E，令y=0，求出B的坐標，根據點的坐標和面積公式能求出四邊形ACDB和△BCD的面積，根據B、C的坐標能求出直線BC，設直線DP的函數解析式為y=-x+b，把點D（1，4）代入即可求出直線DP的函數解析式，求出y=-x+5和y=-x2+2x+3組成的方程組的解即可；
（3）根據對稱得到△APD≌△BCD，根據全等三角形的性質即可得到答案．

（1）∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸
交于A（-1，0）
∴

，
解得

，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，
∵y=-（x2-2x）+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴頂點D的坐標為（1，4），
答：拋物線的解析式是y=-x2+2x+3，頂點D的坐標是（1，4）．

（2）連接BC，過點D作DE⊥x軸于點E．
令y=0則-x2+2x+3=0，
∴x1=-1，x2=3
∴點B的坐標為（3，0），
∴S四邊形ACDB=S△AOC+S梯形OEDC+S△EBD=×1×3+×(3+4)×1+×2×4＝9
∵S△ABC＝×4×3＝6
∴S△BCD=3
∵點P是在第一象限內拋物線上的一個動點，S四邊形ACDB=S四邊形ACPB，
∴S△BCP=S△BCD=3，
∴點P是過D且與直線BC平行的直線和拋物線的交點，
而直線BC的函數解析式為y=-x+3，
∴設直線DP的函數解析式為y=-x+b，過點D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直線DP的函數解析式為y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x2+2x+3中，解得x1=1，x2=2，
∴點P的坐標為（2，3），
答：與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點P的坐標是（2，3）．
（3）∵點P與點C關于DE對稱，點B與點A關于DE對稱，
∴△APD≌△BCD，
∴S△APD=S△BCD=3，
答：△APD的面積是3．